Zadania písomky z VPZMA, 3.5.2005, 8:00

Príklad 1: (2 body)

f(x) = (cos x)^{1/sin x} x≠0

f(0) = ? x=0

Určte funkčnú hodnotu v f(0) tak, aby f bola v bode 0 spojitá.

Príklad 2: (4 body)

f(x) = 2^(-2) ^1/1-x

f(1) = 1

Nájdite a charakterizujte body nespojitosti funkcie

Príklad 3: (7 bodov; 3+2+2 body za každú podotázku)

Nech množina A={a₀, a₁, … } je nekonečná spočítateľná množina. Definujte f: R→R tak, že:

a) D_f = A

b) D_f = Q

c) D_f = N

Príklad 4: (7 bodov, 2+2+3 body za každú podotázku)

Zistite, či f:<0,1> → R:

f(x) = x.sin(^∏/_x) x≠0

f(x) = 0 x=0

a) je spojitá v x=0

b) je diferencovatelná na <0,1>

c) má konečnú variáciu

Príklad 5: (4 body)

Nech f:<0,1>→<0,1> je diferencovatelná na <0,1>. Nech f` je rimanovsky integrovatelná na <0,1>. Potom f má konečnú variáciu Vf = <sub>0</sub>∫<sup>1</sup> |f`(t)| dt. Dokážte